Поговорим об инвестиционном портфеле портфель ценных бумаг, построенный по модели экономиста Дж. Тобина. Данная модель явилась продолжением развития метода формирования оптимального инвестиционного портфеля Г. Марковица.
- Инвестиционный портфель ценных бумаг
- Инфографика: Инвестиционный портфель ценных бумаг. Портфель Дж. Тобина
- Инвестиционный портфель Дж. Тобина. Принципы построения
- Расчет доходности портфеля ценных бумаг в модели Тобина
- Расчет риска портфеля ценных бумаг
- Две ключевые задачи инвестиционного портфеля ценных бумаг
- Расчет инвестиционного портфеля ценных бумаг по модели Тобина в Excel
- Оптимизация инвестиционного портфеля ценных бумаг для минимального риска
- Оптимизация инвестиционного портфеля ценных бумаг для максимальной эффективности
Инвестиционный портфель ценных бумаг
Инвестиционный портфель ценных бумаг – представляет собой совокупность различных видов ценных бумаг (акции, облигации, фьючерсы и т.д.), выполняющая цели инвестора. Как правило, основная цель инвестора заключаются в достижении определенных соотношений доходности и риска вложения капитала. При группировке ценных бумаг в портфель происходит снижение уровня систематического (рыночного) риска.
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Оценка стоимости бизнеса![]() |
Финансовый анализ по МСФО![]() |
Финансовый анализ по РСБУ![]() |
Расчет NPV, IRR в Excel![]() |
Оценка акций и облигаций![]() |
Инфографика: Инвестиционный портфель ценных бумаг. Портфель Дж. Тобина
★ Инвестиционная оценка в Excel. Расчет NPV, IRR, DPP, PI за 5 минут
![]() |
★ Excel таблица для формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг (рассчитай портфель за 1 минуту) + оценка риска и доходности |
![]() |
★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса |
Инвестиционный портфель Дж. Тобина. Принципы построения
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Портфель Дж. Тобина строится аналогично модели Г. Марковица, но имеет два главных отличия:
- В инвестиционный портфель включаются безрисковые активы, доходность которых не зависит от рыночных рисков. К безрисковым активам относят государственные ценные бумаги (ГКО, ОФЗ) с максимальным уровнем надежности.
- В модели допускается не только покупка ценных бумаг в портфеле, но также и их продажа.
Ограничение на построение портфеля заключается в том, что сумма долей всех ценных бумаг портфеля должна равняться 1, вместе с безрисковым активом. Если вы хотите более подробно изучить построение инвестиционного портфеля Г. Марковица читайте статью: «Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel«.
Расчет доходности портфеля ценных бумаг в модели Тобина
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Доходность инвестиционного портфеля рассчитывается как взвешенная сумма доходностей отдельных видов ценных бумаг, включая безрисковый актив. Формула расчета доходности следующая:
где:
rp – общая доходность инвестиционного портфеля;
wi – доля различных ценных бумаг в структуре портфеля;
wi – доля безрискового актива в структуре портфеля;
r0 – доходность безрискового актива;
ri – доходность ценных бумаг.
Расчет риска портфеля ценных бумаг
В модели Дж. Тобина для оценки риска портфеля ценных бумаг используется тот же подход, что и в модели Г. Марковица. Так как безрисковый актив максимально надежен, уровень риска его равен нулю. Формула расчета риска портфеля ценных бумаг будет иметь следующий вид:
где:
σp – общий риск инвестиционного портфеля;
σi – стандартное отклонение доходностей i-го ценной бумаги;
kij – коэффициент корреляции между I,j-м ценной бумагой;
wi – доля ценных бумаг в инвестиционном портфеле;
Vij – ковариация доходностей i-й и j-й ценной бумаги;
n – суммарное количество видов ценных бумаг в портфеле.
Следует заметить, что снижение общего риска портфеля происходит из-за включения в портфель разнонаправленных по изменению доходности ценных бумаг. То есть коэффициент корреляции между доходностями таких ценных бумаг отрицателен, в долгосрочной перспективе это позволяет снизить рыночный риск портфеля.
![]() |
★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса |
Две ключевые задачи инвестиционного портфеля ценных бумаг
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
При составлении портфеля инвестор решает две задачи: минимизация риска портфеля при заданном уровне доходности и максимизация доходности (эффективности) портфеля при заданном уровне риска. Целью данных оптимизационных задач является определение структуры инвестиционного портфеля ценных бумаг, при котором выполняются заданные условия. В таблице ниже показан математический вид оптимизационной задачи, для расчета весов инвестиционного портфеля по модели Дж. Тобина.
Портфель Тобина минимального риска | Портфель Тобина максимальной эффективности |
![]() |
![]() |
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Расчет инвестиционного портфеля ценных бумаг по модели Тобина в Excel
Рассмотрим на примере расчет инвестиционного портфеля ценных бумаг по модели Тобина. Для этого необходимо загрузить котировки ценных бумаг (можно с сервиса Финам.ру). Была получена стоимость обыкновенных акции: ОАО «Газпром», ОАО «ГМКНорНикель», ОАО «Магнитогорский металлургический комбинат» за период 1 февраля 2014 – 1 февраля 2015 года. Можно заметить, что при выборе ценных бумаг следует воспользоваться принципом диверсификации, который заключается в распределении капитала между ценными бумагами компаний различных отраслей и видов деятельности. Так же был взят безрисковый актив — государственные корпоративные облигации, на февраль 2015 года доходность, по которым составляет 13,17% годовых. На рисунке ниже отражена стоимость ценных бумаг.

На следующем этапе необходимо рассчитать доходность ценных бумаг, для этого применим формулы в Excel, представленные ниже. Помимо ценных бумаг в портфель будет включен безрисковый актив – государственные краткосрочные облигации, доходность которых можно получить с официального сайта ЦБ РФ.
Доходность Газпром =(B6-B5)/B5
Доходность ГМКНорНикель =(C6-C5)/C5
Доходность ММК =(D6-D5)/D5
Годовая доходность ГКО = 13,17%
Ежемесячная доходность ГКО = 1,1%

Расчет доходности всего инвестиционного портфеля состоит из оценки доходности каждой ценной бумаги, входящей в него. Оценка будущей доходности ценной бумаги осуществляется с помощью определения математического ожидания. Для этого рассчитывается среднеарифметическое значение всех доходностей за выбранный период времени по формулам в Excel:
Доходность акций Газпром =СРЗНАЧ(E5:E17)
Пройдите наш авторский курс по выбору акций на фондовом рынке → обучающий курс
Оценка стоимости бизнеса![]() |
Финансовый анализ по МСФО![]() |
Финансовый анализ по РСБУ![]() |
Расчет NPV, IRR в Excel![]() |
Оценка акций и облигаций![]() |
Доходность акций ГМКНорНикель =СРЗНАЧ(F5:F17)
Доходность акций ММК =СРЗНАЧ(G5:G17)

Риск всего портфеля определяется через оценку изменчивости доходности каждой акции и их взаимной корреляции. Для начала оценим риск каждой ценной бумаги через стандартное отклонение от средней доходности. Формулы расчета риска ценных бумаг представлены ниже:
Риск акций Газпром =СТАНДОТКЛОН(E5:E17)
Риск акций ГМКНорНикель =СТАНДОТКЛОН(F5:F17)
Риск акций ММК =СТАНДОТКЛОН(G5:G17)

После оценки риска каждой акции необходимо оценить риск и доходность всего портфеля. Оценка риска портфеля ценных бумаг будет представлять собой взвешенное произведение ковариаций доходностей ценных бумаг (аналитическая формула была представлена выше).
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Рассчитаем ковариационную матрицу доходностей акций, для этого воспользуемся надстройкой в Excel «Ковариация» (Главное меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация»). Ковариация отражает степень взаимозависимости статистических величин.
Заполним в открывшейся форме «входной интервал» и выберем опцию по столбцам, так как доходности акций изменяются по столбцам.
В итоге мы получим ковариацию между доходностями акций, представленную на рисунке ниже.

Рассчитаем доходность инвестиционного портфеля в целом, для этого определим первоначальные доли в нашем еще неоптимизированном портфеле: 0.3, 0.3, 0.3 и 0.1 у Газпрома, ГМКНорНикель, ММК и ГКО. Для расчета в Excel необходимо составить транспонированную матрицу весов акций в портфеле (Tw). Общая доходность портфеля представляет собой взвешенную сумму доходностей ценных бумаг и безрискового актива. К тому же сумма долей не должна превышать единицы. Общий риск и доходность портфеля, а также ограничение по долям рассчитывается по формулам:
Риск портфеля акций =КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(E26:G26;E23:G25);C23:C25))
Доходность инвестиционного портфеля =E18*E26+F18*F26+G26*G18+H5*H26
Ограничения по долям портфеля =СУММ(E26:H26)

Оптимизация инвестиционного портфеля ценных бумаг для минимального риска
Оптимизация проводится с помощью надстройки «Поиск решений» (Главное меню Excel → «Данные» → «Поиск решений»). В открывшемся окне необходимо ввести целевые функции, которые будут максимизироваться или минимизироваться (доходность и риск). Далее выставляются ограничения по долям ценных бумаг. Портфель формируется за счет изменения долей ценных бумаг при соблюдении выставленных условий. Возьмем уровень минимальной требуемой доходности rp ≥ 5% и проведем оптимизацию портфеля.
Итоговый результат представлен на рисунке ниже. Как мы видим, доля ОАО «Газпром» составляет 0 , доля ОАО «ГМКНорНикель» 0.11, доля ОАО «ММК» 0.48 и доля ГКО 0.41. Общий риск составил 7% при доходности портфеля в 5%.

Оптимизация инвестиционного портфеля ценных бумаг для максимальной эффективности
Вторая задача портфельного инвестирования заключается в определении такой структуры портфеля, при котором инвестиционный портфель имеет максимальный уровень доходности при заданном уровне риска. Для решения поставленной задачи воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений». В ячейке целевой функции устанавливается ссылка на формулу доходности портфеля. Необходимо установить флажок на опции «максимальному значению», для максимизации целевой ячейки при изменении долей акций и актива. Также следует указать ограничения на доли и на уровень риска портфеля. Максимальный уровень риска возьмем σp≤5%.
Результат имеет следующий вид, представленный ниже. Доля акций ОАО «Газпром» составила 0, доля акций ОАО «ГМКНорНикель» 8%, доля акций ОАО «ММК» 35% и доля безрискового актива 58%. Общий уровень портфеля не превысил ограничения в 5% и доходность составила 4%.

Модель Дж. Тобина позволяет учесть не только ценные бумаги, но и безрисковые активы к которым можно отнести государственные ценные бумаги (ГКО, ОФЗ) и различные облигационные выпуски высоконадежных эмитентов. Портфель Тобина расширяет возможности составления портфеля не только из акций, но и из облигаций, недвижимости и других безрисковых активов.
![]() |
★ Программа InvestRatio — расчет всех инвестиционных коэффициентов в Excel за 5 минут (расчет коэффициентов Шарпа, Сортино, Трейнора, Калмара, Модильянки бета, VaR) + прогнозирование движения курса |
Резюме
Портфель Дж. Тобина является разновидностью модели инвестиционного портфеля Г. Марковица. Модель Тобина позволяет учесть в формировании портфеля безрисковые активы: государственные облигации, облигации высоконадежных эмитентов (евробонгды) и недвижимость. Оценка риска и доходности имеет ряд недостатков: сложность прогнозирования будущей доходности ценных бумаг на основании только изменения цены. Данные недостатки решаются с помощью многофакторных методов прогнозирования риска и доходности.
Бесплатный Экспресс-курс "Оценка инвестиционных проектов с нуля в Excel" от Ждановых. Получить доступ
Автор: к.э.н. Жданов Иван Юрьевич
Оценка стоимости бизнеса![]() |
Финансовый анализ по МСФО![]() |
Финансовый анализ по РСБУ![]() |
Расчет NPV, IRR в Excel![]() |
Оценка акций и облигаций![]() |